2. 不同进制之间的换算

在十进制中，个位的 1 代表 10⁰ = 1，十位的 1 代表 10¹=10，百位的 1 代表 10² = 100，所以

123 = 1 × 10² + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰

同样道理，在二进制中，个位的 1 代表 2⁰ = 1，十位的 1 代表 2¹ = 2，百位的 1 代表 2² = 4，所以

(A₃A₂A₁A₀)₂ = A₃  × 2³  + A₂  × 2²  + A₁  × 2¹  + A₀ × 2⁰

如果二进制和十进制数出现在同一个等式中，为了区别我们用 (A₃A₂A₁A₀)₂这种形式表示 A₃A₂A₁A₀是二进制数，每个数字只能是 0 或 1，其它没有套括号加下标的数仍表示十进制数。对于 (A₃A₂A₁A₀)₂这样一个二进制数，最左边的 A₃位称为最高位（MSB，Most Significant Bit），最右边的 A₀位称为最低位（LSB，Least Significant Bit）。以后我们遵循这样的惯例：LSB 称为第 0 位而不是第 1 位，所以如果一个数是 32 位的，则 MSB 是第 31 位。上式就是从二进制到十进制的换算公式。作为练习，请读者算一下 (1011)₂和 (1111)₂换算成十进制分别是多少。

下面来看十进制怎么换算成二进制。我们知道

13 = 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰

所以 13 换算成二进制应该是 (1101)₂。问题是怎么把 13 分解成等号右边的形式呢？注意到等号右边可以写成

13 = ((((0 × 2 + 1₃) × 2 + 1₂) × 2 + 0₁) × 2 + 1₀

我们将 13 反复除以 2 取余数就可以提取出上式中的 1101 四个数字，为了让读者更容易看清楚是哪个 1 和哪个 0，上式和下式中对应的数字都加了下标：

13 ÷ 2 = 6...1₀ 6 ÷ 2 = 3...0₁ 3 ÷ 2 = 1...1₂ 1 ÷ 2 = 0...1₃

把这四步得到的余数按相反的顺序排列就是 13 的二进制表示，因此这种方法称为除二反序取余法。

计算机用二进制表示数，程序员也必须习惯使用二进制，但二进制写起来太啰嗦了，所以通常将二进制数分成每三位一组或者每四位一组，每组用一个数字表示。比如把 (10110010)₂从最低位开始每三位分成一组，10、110、010，然后把每组写成一个十进制数字，就是 (262)₈，这样每一位数字的取值范围是 0~7，逢八进一，称为八进制（Octal）。类似地，把 (10110010)₂分成每四位一组，1011、0010，然后把每组写成一个数字，这个数的低位是 2，高位已经大于 9 了，我们规定用字母 A~F 表示 10~15，这个数可以写成 (B2)₁₆，每一位数字的取值范围是 0~F，逢十六进一，称为十六进制（Hexadecimal）。所以，八进制和十六进制是程序员为了书写二进制方便而发明的简便写法，好比草书和正楷的关系一样。

习题

1. 二进制小数可以这样定义：

   (0.A₁A₂A₃...)₂ = A₁ × 2^-1 + A₂ × 2^-2 + A₃ × 2^-3+...

   这个定义同时也是从二进制小数到十进制小数的换算公式。从本节讲的十进制转二进制的推导过程出发类比一下，十进制小数换算成二进制小数应该怎么算？

2. 再类比一下，八进制（或十六进制）与十进制之间如何相互换算？