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主题

3. 布尔代数 ​

在 第 1 节“if 语句” 讲过， a<b<c 不表示 b 既大于 a 又小于 c ，那么如果想表示这个含义该怎么写呢？可以这样：

c
if (a < b) {
    if (b < c) {
        printf("b is between a and c.\n");
    }
}

我们也可以用逻辑与（Logical AND）运算符表示这两个条件同时成立。逻辑与运算符在 C 语言中写成两个&号（Ampersand），上面的语句可以改写为：

c
if (a < b && b < c) {
    printf("b is between a and c.\n");
}

对于 a < b && b < c 这个控制表达式，要求“ a < b 的值非 0”和“ b < c 的值非 0”这两个条件同时成立整个表达式的值才为 1，否则整个表达式的值为 0。也就是只有两个条件都为真，它们做逻辑与运算的结果才为真，有一个条件为假，则逻辑与运算的结果为假，如下表所示：

表 4.2. AND 的真值表

ABA AND B
000
010
100
111

这种表称为真值表（Truth Table）。注意逻辑与运算的操作数以非 0 表示真以 0 表示假，而运算结果以 1 表示真以 0 表示假（类型是 int ），我们忽略这些细微的差别，在表中全部以 1 表示真以 0 表示假。C 语言还提供了逻辑或（Logical OR）运算符，写成两个 | 线（Pipe Sign），逻辑非（Logical NOT）运算符，写成一个！号（Exclamation Mark），它们的真值表如下：

表 4.3. OR 的真值表

ABA OR B
000
011
101
111

表 4.4. NOT 的真值表

ANOT A
01
10

逻辑或表示两个条件只要有一个为真，它们做逻辑或运算的结果就为真，只有两个条件都为假，逻辑或运算的结果才为假。逻辑非的作用是对原来的逻辑值取反，原来是真的就是假，原来是假的就是真。逻辑非运算符只有一个操作数，称为单目运算符（Unary Operator），以前讲过的加减乘除、赋值、相等性、关系、逻辑与、逻辑或运算符都有两个操作数，称为双目运算符（Binary Operator）。

关于逻辑运算的数学体系称为布尔代数（Boolean Algebra），以它的创始人布尔命名。在编程语言中表示真和假的数据类型叫做布尔类型，在 C 语言中通常用 int 型来表示，非 0 表示真，0 表示假 [1]。布尔逻辑是写程序的基本功之一，程序中的很多错误都可以归因于逻辑错误。以下是一些布尔代数的基本定理，为了简洁易读，真和假用 1 和 0 表示，AND 用 * 号表示，OR 用 + 号表示（从真值表可以看出 AND 和 OR 运算确实有点像乘法和加法运算），NOT 用 ¬ 表示，变量 x 、 y 、 z 的值可能是 0 也可能是 1。

bash
¬¬x=x

x*0=0
x+1=1

x*1=x
x+0=x

x*x=x
x+x=x

x*¬x=0
x+¬x=1

x*y=y*x
x+y=y+x

x*(y*z)=(x*y)*z
x+(y+z)=(x+y)+z

x*(y+z)=x*y+x*z
x+y*z=(x+y)*(x+z)

x+x*y=x
x*(x+y)=x

x*y+x*¬y=x
(x+y)*(x+¬y)=x

¬(x*y)=¬x+¬y
¬(x+y)=¬x*¬y

x+¬x*y=x+y
x*(¬x+y)=x*y

x*y+¬x*z+y*z=x*y+¬x*z
(x+y)*(¬x+z)*(y+z)=(x+y)*(¬x+z)

除了第 1 行之外，这些公式都是每两行一组的，每组的两个公式就像对联一样：把其中一个公式中的 * 换成 +、+ 换成 *、0 换成 1、1 换成 0，就变成了与它对称的另一个公式。这些定理都可以通过真值表证明，更多细节可参考有关数字逻辑的教材，例如 数字逻辑基础。我们将在本节的练习题中强化训练对这些定理的理解。

目前为止介绍的这些运算符的优先级顺序是：! 高于 * / %，高于 + -，高于 > < >= <=，高于 == !=，高于 &&，高于 ||，高于 =。写一个控制表达式很可能同时用到这些运算符中的多个，如果记不清楚运算符的优先级一定要多套括号。我们将在 第 4 节“运算符总结” 总结 C 语言所有运算符的优先级和结合性。

习题 ​

  1. 把代码段

    c
    if (x > 0 && x < 10);
else
    printf("x is out of range.\n");

    改写成下面这种形式：

    c
    if (____ || ____)
    printf("x is out of range.\n");

    ____ 应该怎么填？

  2. 把代码段：

    c
    if (x > 0)
    printf("Test OK!\n");
else if (x <= 0 && y > 0)
    printf("Test OK!\n");
else
    printf("Test failed!\n");

    改写成下面这种形式：

    c
    if (____ && ____)
    printf("Test failed!\n");
else
    printf("Test OK!\n");

    ____ 应该怎么填？

  3. 有这样一段代码：

    c
    if (x > 1 && y != 1) {
    ...
} else if (x < 1 && y != 1) {
    ...
} else {
    ...
}

    要进入最后一个 else ，x 和 y 需要满足条件 ____ || ____。这里应该怎么填？

  4. 以下哪一个 if 判断条件是多余的可以去掉？这里所谓的“多余”是指，某种情况下如果本来应该打印 Test OK! ，去掉这个多余条件后仍然打印 Test OK! ，如果本来应该打印 Test failed! ，去掉这个多余条件后仍然打印 Test failed! 。

    c
    if (x<3 && y>3)
    printf("Test OK!\n");
else if (x>=3 && y>=3)
    printf("Test OK!\n");
else if (z>3 && x>=3)
    printf("Test OK!\n");
else if (z<=3 && y>=3)
    printf("Test OK!\n");
else
    printf("Test failed!\n");

  1. C99 也定义了专门的布尔类型 _Bool，但目前没有被广泛使用。 ↩︎