4. 归并排序
插入排序算法采取增量式（Incremental）的策略解决问题，每次添一个元素到已排序的子序列中，逐渐将整个数组排序完毕，它的时间复杂度是 O(n2)。下面介绍另一种典型的排序算法－－归并排序，它采取分而治之（Divide-and-Conquer）的策略，时间复杂度是 Θ(nlgn)。归并排序的步骤如下：
Divide: 把长度为 n 的输入序列分成两个长度为 n/2 的子序列。
Conquer: 对这两个子序列分别采用归并排序。
Combine: 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。
在描述归并排序的步骤时又调用了归并排序本身，可见这是一个递归的过程。
例 11.2. 归并排序
#include <stdio.h>
#define LEN 8
int a[LEN] = {5, 2, 4, 7, 1, 3, 2, 6};
void merge(int start, int mid, int end) {
int n1 = mid - start + 1;
int n2 = end - mid;
int left[n1], right[n2];
int i, j, k;
for (i = 0; i < n1; i++) /* left holds a[start..mid] */
left[i] = a[start + i];
for (j = 0; j < n2; j++) /* right holds a[mid+1..end] */
right[j] = a[mid + 1 + j];
i = j = 0;
k = start;
while (i < n1 && j < n2)
if (left[i] < right[j])
a[k++] = left[i++];
else
a[k++] = right[j++];
while (i < n1) /* left[] is not exhausted */
a[k++] = left[i++];
while (j < n2) /* right[] is not exhausted */
a[k++] = right[j++];
}
void sort(int start, int end) {
int mid;
if (start < end) {
mid = (start + end) / 2;
printf("sort (%d-%d, %d-%d) %d %d %d %d %d %d %d %d\n", start, mid,
mid + 1, end, a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], a[6], a[7]);
sort(start, mid);
sort(mid + 1, end);
merge(start, mid, end);
printf("merge (%d-%d, %d-%d) to %d %d %d %d %d %d %d %d\n", start, mid,
mid + 1, end, a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], a[6], a[7]);
}
}
int main(void) {
sort(0, LEN - 1);
return 0;
}执行结果是：
sort (0-3, 4-7) 5 2 4 7 1 3 2 6
sort (0-1, 2-3) 5 2 4 7 1 3 2 6
sort (0-0, 1-1) 5 2 4 7 1 3 2 6
merge (0-0, 1-1) to 2 5 4 7 1 3 2 6
sort (2-2, 3-3) 2 5 4 7 1 3 2 6
merge (2-2, 3-3) to 2 5 4 7 1 3 2 6
merge 0-1, 2-3) to 2 4 5 7 1 3 2 6
sort (4-5, 6-7) 2 4 5 7 1 3 2 6
sort (4-4, 5-5) 2 4 5 7 1 3 2 6
merge (4-4, 5-5) to 2 4 5 7 1 3 2 6
sort (6-6, 7-7) 2 4 5 7 1 3 2 6
merge (6-6, 7-7) to 2 4 5 7 1 3 2 6
merge (4-5, 6-7) to 2 4 5 7 1 2 3 6
merge (0-3, 4-7) to 1 2 2 3 4 5 6 7sort 函数把 a[start..end] 平均分成两个子序列，分别是 a[start..mid] 和 a[mid+1..end] ，对这两个子序列分别递归调用 sort 函数进行排序，然后调用 merge 函数将排好序的两个子序列合并起来，由于两个子序列都已经排好序了，合并的过程很简单，每次循环取两个子序列中最小的元素进行比较，将较小的元素取出放到最终的排序序列中，如果其中一个子序列的元素已取完，就把另一个子序列剩下的元素都放到最终的排序序列中。为了便于理解程序，我在 sort 函数开头和结尾插了打印语句，可以看出调用过程是这样的：
图 11.4. 归并排序调用过程
图中 S 表示 sort 函数，M 表示 merge 函数，整个控制流程沿虚线所示的方向调用和返回。由于 sort 函数递归调用了自己两次，所以各函数之间的调用关系呈树状结构。画这个图只是为了清楚地展现归并排序的过程，读者在理解递归函数时一定不要全部展开来看，而是要抓住 Base Case 和递推关系来理解。我们分析一下归并排序的时间复杂度，以下分析出自 算法导论。
首先分析 merge 函数的时间复杂度。在 merge 函数中演示了 C99 的新特性－－可变长数组，当然也可以避免使用这一特性，比如把 left 和 right 都按最大长度 LEN 分配。不管用哪种办法，定义数组并分配存储空间的执行时间都可以看作常数，与数组的长度无关，常数用 Θ-notation 记作 Θ(1)。设子序列 a[start..mid] 的长度为 n1 ，子序列 a[mid+1..end] 的长度为 n2 ， a[start..end] 的总长度为 n=n1+n2，则前两个 for 循环的执行时间是 Θ(n1+n2)，也就是 Θ(n)，后面三个 for 循环合在一起看，每走一次循环就会在最终的排序序列中确定一个元素，最终的排序序列共有 n 个元素，所以执行时间也是 Θ(n)。两个 Θ(n) 再加上若干常数项， merge 函数总的执行时间仍是 Θ(n)，其中 n=end-start+1。
然后分析 sort 函数的时间复杂度，当输入长度 n=1，也就是 start==end 时， if 条件不成立，执行时间为常数 Θ(1)，当输入长度 n>1 时：
总的执行时间 = 2 × 输入长度为 n/2 的 sort 函数的执行时间 + merge 函数的执行时间 Θ(n)
设输入长度为 n 的 sort 函数的执行时间为 T(n)，如下：
这是一个递推公式（Recurrence），我们需要消去等号右侧的 T(n)，把 T(n) 写成 n 的函数。其实符合一定条件的 Recurrence 的展开有数学公式可以套，这里我们略去严格的数学证明，只是从直观上看一下这个递推公式的结果。当 n=1 时可以设 T(1)=c1，当 n>1 时可以设 T(n)=2T(n/2)+c2n，我们取 c1和 c2中较大的一个设为 c，把原来的公式改为：
这样计算出的结果应该是 T(n) 的上界。下面我们把 T(n/2) 展开成 2T(n/4)+cn/2（下图中的 (c)），然后再把 T(n/4) 进一步展开，直到最后全部变成 T(1)=c（下图中的 (d)）：
把图 (d) 中所有的项加起来就是总的执行时间。这是一个树状结构，每一层的和都是 cn，共有 lgn+1 层，因此总的执行时间是 cnlgn+cn，相比 nlgn 来说，cn 项可以忽略，因此 T(n) 的上界是 Θ(nlgn)。
如果先前取 c1和 c2中较小的一个设为 c，计算出的结果应该是 T(n) 的下界，然而推导过程一样，结果也是 Θ(nlgn)。既然 T(n) 的上下界都是 Θ(nlgn)，显然 T(n) 就是 Θ(nlgn)。
和插入排序的平均情况相比归并排序更快一些，虽然 merge 函数的步骤较多，引入了较大的常数、系数和低次项，但是对于较大的输入长度 n，这些都不是主要因素，归并排序的时间复杂度是 Θ(nlgn)，而插入排序的平均情况是 Θ(n2)，这就决定了归并排序是更快的算法。但是不是任何情况下归并排序都优于插入排序呢？哪些情况适用插入排序而不适用归并排序？留给读者思考。
习题
快速排序是另外一种采用分而治之策略的排序算法，在平均情况下的时间复杂度也是 Θ(nlgn)，但比归并排序有更小的时间常数。它的基本思想是这样的：
cint partition(int start, int end) { // 从 a[start..end] 中选取一个 pivot 元素（比如选 a[start] 为 pivot）; // 在一个循环中移动 a[start..end] 的数据，将 a[start..end] 分成两半， // 使 a[start..mid-1] 比 pivot 元素小，a[mid+1..end] 比 pivot 元素大，而 // a[mid] 就是 pivot 元素; return mid; } void quicksort(int start, int end) { int mid; if (end > start) { mid = partition(start, end); quicksort(start, mid - 1); quicksort(mid + 1, end); } }请补完
partition函数，这个函数有多种写法，请选择时间常数尽可能小的实现方法。想想快速排序在最好和最坏情况下的时间复杂度是多少？快速排序在平均情况下的时间复杂度分析起来比较复杂，有兴趣的读者可以参考 算法导论。